名师讲压轴（四）

张翼，市教坛新秀，市青年教师基本功大赛一等奖、市优质课比赛一等奖获得者。多年担任初三毕业班数学教学，教学能力突出，成绩显著。教学理念先进，善于总结提炼，十多篇高质量教学论文在省级以上刊物发表。

一道对称类中考压轴题的多种解法

原题再现

（2017淮安卷28题）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=－1/3x²+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．

（1）填空：b=　   　，c=　   　；

（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；

（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；

（4）如图②，点N的坐标为（﹣3/2，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．

本文主要就第（4）问展开研究，先求点H运动轨迹解析式：

【策略一：直达目标】

方法1：斜化直、导边导角.

【策略二：“两定点”定位解析法】

方法2：角平分线+双垂线+矩形大法

若认为此法计算量大，可以采用于特的“增量巧算”思想，寻找一些特殊点进行构造，下面举一例：

方法3：角平分线+双垂线+矩形大法（特殊点）

此法可以推广到在线段NB上任取一点，读者可以自行尝试.

方法4：“角平分线+单垂线+中点坐标公式”

同样此法也可进一步推广，寻找特殊点，再结合“垂直→k₁k₂=-1”解决问题，下面举一例：

方法5：“角平分线+单垂线+中点坐标公式”

此法涉嫌超纲，但直接写答案类可以考虑，类似取特殊点的方式读者可以自行尝试.

方法六：“角平分线+平行线”⇒等腰

方法7：角平分线定理+勾股定理

角平分线定理目前部分教材已删除，但学有余力的同学可以掌握，利用面积法稍加推导，如下：

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线

过点D作DE⊥AB，DF⊥AC

∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF

∵2S△ABD=AB×DE,2S△ACD=AC×DF

∴S△ABD:S△ACD=AB:AC

过点A作AG⊥BC，垂足为G

∵2S△ABD=BD×AG，2S△ACD=CD×AG

∴S△ABD:S△ACD=BD:CD

∴AB:AC=BD:CD

本法同样可推广到取特殊点然后利用角平分线定理解决，有兴趣的读者可以尝试..

方法8：角平分线+双垂线+勾股

【策略三：“一定点+定角”定位解析法】

方法9：倍半角

方法10：“角平分线+平行线”⇒等腰⇒倍半角

方法11：中点策略

感受图形的确定性是一名数学教师重要的基本功，也应该是传授给学生的重要解题思想方法与策略！这些最基本的解题思想与策略应该是我们平时教学中应该渗透的重点与难点，这是有效避开学生就题论题而成为“解题工具”的重要方式与方法，思想决定高度，只有真正教会学生或者学生真正学会每道题目的数学思想方法，真正解到题目中去了，我想我们的解题教学才是真正好的教学了，以求真正做到“一通百通”！

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延伸阅读：名师讲压轴（一）                   名师讲压轴（二）
                   名师讲压轴（三）

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